Question

【題目】已知，，其中、均為實數(shù).

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，若，在區(qū)間上總存在、使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（Ⅱ）求得，分和兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由題意可知函數(shù)的極值點必在區(qū)間，且在上的值域包含于的值域，由此可得出實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）由題意可知，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

又因為，，所以；

（Ⅱ）由題意可知，

當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意；

當時，在區(qū)間上總存在、使得，

那么由題意知的極值點必在區(qū)間內(nèi)，即，得，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由題意得在上的值域包含于的值域，

所以，整理得，記，

則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，

即當時，成立，即成立，所以.

因此，實數(shù)的取值范圍是.