Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點．
（1）求證：B₁C⊥平面ABC₁；
（2）求二面角C-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，B₁O⊥平面ABC，BO=AO=1，B₁O=且OC⊥AB．分別以O(shè)C，OA，OB₁為x軸、y軸和z軸，建立如圖空間直角坐標系，得出A、B、C₁、B₁各點的坐標，從而得到向量和的坐標，通過計算數(shù)量積得B₁C⊥AC₁，再結(jié)合菱形BB₁C₁C中B₁C⊥C₁B，可得B₁C⊥平面ABC₁；
（2）由面面垂直的判定與性質(zhì)，可得OC⊥側(cè)面AA₁B₁B，得平面AA₁B₁B的一個法向量為=（，0，0），再利用數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面AB₁C的一個法向量=（1，，1），從而算出向量，夾角的余弦之值，最終得到二面角C-AB₁-B的余弦值．
解答：解：（1）∵點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，
∴B₁O⊥平面ABC，BO=AO=1，B₁O=，OC⊥AB
故分別以O(shè)C，OA，OB₁為x軸、y軸和z軸，建立如圖空間直角坐標系，得A（0，1，0），B（0，-1，0），C₁（，1，），B₁（0，0，），
∴=（-，0，），=（，0，）
可得•=-×+0×0+×=0
∴⊥，即B₁C⊥AC₁，
∵菱形BB₁C₁C中，對角線B₁C⊥C₁B，AC₁∩C₁B=C₁
∴B₁C⊥平面ABC₁；
（II）∵B₁O⊥平面ABC，B₁O?側(cè)面AA₁B₁B，∴側(cè)面AA₁B₁B⊥平面ABC，
∵△ABC中，中線OC⊥AB，側(cè)面AA₁B₁B∩平面ABC=AB，
∴OC⊥側(cè)面AA₁B₁B，可得平面AA₁B₁B的一個法向量為=（，0，0），
設(shè)=（x，y，z）是平面AB₁C的一個法向量，得，
取x=z=1，得y=，所以=（1，，1）
∴cos＜，＞===，
再結(jié)合圖形，可得二面角C-AB₁-B的余弦值等于．
點評：本題在所有棱長都為2的斜三棱柱中，求證線面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了直線與平面垂直的判定和用空間向量求平面間的夾角等知識，屬于中檔題．