Question

（2009•閘北區(qū)一模）已知復數(shù)z₁滿足（1+i）z₁=3+i，復數(shù)z₀滿足z0•z1+

.

z0

=4．
（1）求復數(shù)z₀；
（2）設z₀是關于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，求p、q的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的復數(shù)滿足的條件，表示出復數(shù)，進行復數(shù)的除法運算，得到代數(shù)形式的標準形式，根據(jù)兩個復數(shù)之間的關系，利用復數(shù)相等的條件得到結(jié)果．
（2）z₀是關于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，得1-i是實系數(shù)方程x²-px+q=0的根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系，寫出字母系數(shù)的表示式，得到結(jié)果．

解答：解：（1）因為（1+i）z₁=3+i，所以z1=

3+i

1+i

=2-i，（2分）
設z₀=a+bi（a，b∈R），且z0•z1+

.

z0

=4．
所以（a+bi）（2-i）+a-bi=4⇒（3a+b）+（b-a）i=4（2分）
由兩復數(shù)相等的定義得：

3a+b=4 b-a=0

，解得

a=1 b=1

（1分）
所以復數(shù)z₀=1+i．（1分）
（2）z₀是關于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，
得1-i是實系數(shù)方程x²-px+q=0的根，（2分）
所以p=（1+i）+（1-i）=2（2分）
q=（1+i）•（1-i）=2（2分）

點評：本題考查實系數(shù)的一元二次方程的根與系數(shù)的關系，本題解題的關鍵是根據(jù)所給的一個虛數(shù)根寫出另一個虛數(shù)根，本題是一個中檔題目．