Question

1．已知函數(shù)f（x）滿足$f（{log_a}x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（x-{x^{-1}}）$（其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）對于函數(shù)f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值為負數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)log_ax=t求出x=a^t，代入原函數(shù)化簡求出f（x）的表達式；
（Ⅱ）對a分類討論，分別由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）的單調(diào)性，由函數(shù)奇偶性的定義判斷f（x）是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)等價轉(zhuǎn)化f（1-m）+f（1-m²）＜0，結(jié)合x的范圍和單調(diào)性列出不等式，求出實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)f（x）的單調(diào)性和題意求出f（x）的值域，結(jié)合條件列出不等式，化簡后由一元二次不等式的解法求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)log_ax=t，則x=a^t，
代入原函數(shù)得，$f（t）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{t}-{a}^{-t}）$
則$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）$                    …（2分）
（Ⅱ）當a＞1時，a^x是增函數(shù)，a^-x是減函數(shù)且$\frac{a}{{a}^{2}-1}＞0$，
所以f（x）是定義域R上的增函數(shù)，
同理，當0＜a＜1時，f（x）也是R上的增函數(shù)，…（4分）
又f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）$=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)             …（5分）
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得：f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）…（6分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1-{m}^{2}＜1}\\{1-m＜{m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$1＜m＜\sqrt{2}$                  …（8分）
則實數(shù)m的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）；
（Ⅲ）因為f（x）是增函數(shù)，
所以x∈（-∞，2）時，f（x）-4∈（-∞，f（2）-4），
又當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值為負數(shù)，
所以f（2）-4≤0，…（9分）
則f（2）-4=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{2}-{a}^{-2}）-4$
=$\frac{a}{{a}^{2}-1}•\frac{{a}^{4}-1}{{a}^{2}}-4$=$\frac{{a}^{2}+1}{a}-4≤0$               …（10分）
解得$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1，
所以a的取值范圍是{a|$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1}．…（12分）

點評 本題考查換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)奇偶性的定義，復合函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．