Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點(diǎn)為F（1，0），直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得

MA

•

MB

為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)闄E圓的離心率為

2

2

，所以e=

c

a

=

2

2

，再根據(jù)右焦點(diǎn)為F（1，0），求出c的值，就可得到a的值，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系，解出b值，則橢圓方程可知．
（II）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于a的一元二次方程，求出x₁+x₂，x₁x₂，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，求出

MA

，

MB

的坐標(biāo)，以及

MA

•

MB

，要使得

MA

•

MB

為常數(shù)λ，只需要

(2k2-4t+1)k2+(t2-2)

1+2k2

=λ，化簡，可求出λ的值，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，同樣求出λ的值，兩個(gè)λ一致，所以在x軸上存在定點(diǎn)M，使得

MA

•

MB

為常數(shù)．

解答：解：（I）由題意可知，c=1，又e=

c

a

=

2

2

，解得a=

2

∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1
（II）若直線l不垂直于x軸，可設(shè)l的方程為y=k（x-1）
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）=8k²+8＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
設(shè)M（t，0），則

MA

=（x₁-t，y₁），

MB

=（x₂-t，y₂），

MA

•

MB

=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（t+k²）（x₁+x₂）+t²+k²
=（1+k²）

2k2-2

1+2k2

-（t+k²）

4k2

1+2k2

）+t²+k²
=

(2k4-2k2+2k-2)-(4k4+4k2t)+(2k2t2+2k4+t2 +k2)

1+2k2

=

(2k2-4t+1)k2+(t2-2)

1+2k2

要使得

MA

•

MB

=λ（λ為常數(shù)），只要

(2k2-4t+1)k2+(t2-2)

1+2k2

=λ，
即（2t²-4t+1-2λ）k²+（t²-2-λ）=0（*）
對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，要使（*）式恒成立，只要

2t2-4t+1-2λ0 (t2-2-λ=0

，
解得，

t= 4 5 λ=- 7 16

，
若直線l垂直于x軸，其方程為x=1
此時(shí)，直線與橢圓兩交點(diǎn)為A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

）
取點(diǎn)S（

5

4

，0），有

SA

=（-

1

4

，

2

2

），

SB

=（-

1

4

，

2

2

），

SA

• 

SB

=-

7

16

=λ
綜上所述，過定點(diǎn)F（1，0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，存在定點(diǎn)M（

5

4

，0），
使得

MA

•

MB

=-

7

16

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓方程的求法，以及動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)存在性問題的解法．做題時(shí)綜合運(yùn)用了向量數(shù)量積的運(yùn)算，韋達(dá)定理的應(yīng)用．