Question

已知函數(shù)y=-x²+2x，若a≤x≤b時(shí)，a≤y≤b，試求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系決定區(qū)間的單調(diào)性，討論解答．

解答： 解：①當(dāng)b≤1時(shí)，函數(shù)y=-x²+2x在a≤x≤b是增函數(shù)，此時(shí)x=a時(shí)，y_min=a，x=b時(shí)，y_max=b，即-a²+2a=a，-b²+2b=b解得a=0，b=1；
②當(dāng)a≥1時(shí)，y=-x²+2x，在a≤x≤b是減函數(shù)，∵a≤y≤b，∴-a²+2a=b，-b²+2b=a，整理得b²-3b+3=0無(wú)解；
③當(dāng)a＜1＜b時(shí)，最大值為b=1與b＞1矛盾；
綜上，a=0，b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸的關(guān)系，如果對(duì)稱軸一定，區(qū)間不定，則需要分類討論．