Question

對(duì)于函數(shù)y=f（x），若其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使得x∈[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]，則稱函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=k+

x+2

是“和諧函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：

分析：先判斷函數(shù)f（x）=k+

x+2

是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)和諧函數(shù)的定義，存在實(shí)數(shù)m，n，x∈[m，n]時(shí)，f（x）∈[m，n]，所以得到

k+ m+2 =m k+ n+2 =n

，所以方程k+

x+2

=x有兩個(gè)不等實(shí)根．并且得到k=x-

x+2

令y=x-

x+2

，令t=

x+2

得到y(tǒng)=t²-t-2，通過(guò)圖象即可求出k的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=

1

2 x+2

＞0，∴函數(shù)f（x）在[-2，+∞）上是增函數(shù)；
x∈[m，n]時(shí)，f（m）≤f（x）≤f（n）；
∴

f(m)=k+ m+2 =m f(n)=k+ n+2 =n

；
∴方程k+

x+2

=x在[-2，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根；
∴k=x-

x+2

，即對(duì)于同一個(gè)k有兩個(gè)x對(duì)應(yīng)；
設(shè)y=x-

x+2

（x≥-2），令t=

x+2

（t≥0），x=t²-2；
∴y=t²-t-2
如圖：當(dāng)-

9

4

＜y≤-2，即-

9

4

＜k≤-2時(shí)，對(duì)于同一個(gè)k有兩個(gè)x對(duì)應(yīng)，∴方程k+

x+2

=x有兩個(gè)不等實(shí)根，符合條件，
∴k的取值范圍為(-

9

4

，-2]．

點(diǎn)評(píng)：考查單調(diào)函數(shù)的值域，方程的根和對(duì)應(yīng)函數(shù)的y取值的關(guān)系，通過(guò)圖象會(huì)比較形象的看出答案．