出定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,已知g(x)在x=1處取極值.
(Ⅰ)確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)求證:當(dāng)1<x<e2時(shí),恒有x<
2+f(x)
2-f(x)
成立;
(Ⅲ)把函數(shù)h(x)的圖象向上平移6個(gè)單位得到函數(shù)h1(x)的圖象,試確定函數(shù)y=g(x)-h1(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)由題設(shè),g(x)=x2-alnx,則g′(x)=2x-
a
x
.由已知,g'(1)=0,a=2.于是h(x)=x-2
x
,則h′(x)=1-
1
x
.由此能確定確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性.
(Ⅱ)當(dāng)1<x<e2時(shí),0<lnx<2,即0<f(x)<2.欲證x<
2+f(x)
2-f(x)
,只需證x[2-f(x)]<2+f(x),即證f(x)>
2(x-1)
x+1
.由此能夠證明當(dāng)1<x<e2時(shí),恒有x<
2+f(x)
2-f(x)
成立.
(Ⅲ)由題設(shè),h1(x)=x-2
x
+6
.令g(x)-h1(x)=0,則2
x
-2lnx=-x2+x+6
.設(shè)h2(x)=2
x
-2lnx
,h3(x)=-x2+x+6(x>0),則h2(x)=
1
x
-
2
x
=
x
-2
x
,由
x
-2>0
,得x>4.
所以h2(x)在(4,+∞)上是增函數(shù),在(0,4)上是減函數(shù).由此入手能夠確定函數(shù)y=g(x)-h1(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
解答:解:(Ⅰ)由題設(shè),g(x)=x2-alnx,
g′(x)=2x-
a
x
.(1分)
由已知,g'(1)=0,
即2-a=0⇒a=2.(2分)
于是h(x)=x-2
x
,
h′(x)=1-
1
x
.(3分)
h′(x)=1-
1
x
>0⇒x>1
,
所以h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù).(4分)
證明:(Ⅱ)當(dāng)1<x<e2時(shí),0<lnx<2,
即0<f(x)<2.(5分)
欲證x<
2+f(x)
2-f(x)

只需證x[2-f(x)]<2+f(x),
即證f(x)>
2(x-1)
x+1
.(6分)
設(shè)φ(x)=f(x)-
2(x-1)
x+1
=lnx-
2(x-1)
x+1

φ′(x)=
1
x
-
2(x+1)-2(x-1)
(x+1)2
=
(x-1)2
x(x+1)2

當(dāng)1<x<e2時(shí),φ'(x)>0,
所以φ(x)在區(qū)間(1,e2)上為增函數(shù).(7分)
從而當(dāng)1<x<e2時(shí),φ(x)>φ(1)=0,
lnx>
2(x-1)
x+1
,
x<
2+f(x)
2-f(x)
.(8分)
解:(Ⅲ)由題設(shè),h1(x)=x-2
x
+6

令g(x)-h1(x)=0,
x2-2lnx-(x-2
x
+6)=0
,
2
x
-2lnx=-x2+x+6
.(9分)
設(shè)h2(x)=2
x
-2lnx
,
h3(x)=-x2+x+6(x>0),
h2(x)=
1
x
-
2
x
=
x
-2
x
,
x
-2>0
,得x>4.
所以h2(x)在(4,+∞)上是增函數(shù),
在(0,4)上是減函數(shù).(10分)
又h3(x)在(0,
1
2
)上是增函數(shù),
在(
1
2
,+∞)上是減函數(shù).
因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),h2(x)→+∞,h3(x)→6.
又h2(1)=2,h3(1)=6,h2(4)=4-2ln4>0,h3(4)=-6,
則函數(shù)h2(x)與h3(x)的大致圖象如下:(12分)

由圖可知,當(dāng)x>0時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),
故函數(shù)y=g(x)-h1(x)有2個(gè)零點(diǎn).(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考函數(shù)的恒成立的應(yīng)用,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”,以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定,本題有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,已知g(x)在x=1處取極值.
(1)確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性;
(2)求證:當(dāng)1<x<e2時(shí),恒有x<
2+f(x)
2-f(x)
成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-mf(x),h(x)=x-m
x
,已知g(x)在x=1處取極值.
(1)求m的值及函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)x∈(1,e2)時(shí),恒有
2+f(x)
2-f(x)
>x成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

出定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,已知g(x)在x=1處取極值.
(Ⅰ)確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)求證:當(dāng)1<x<e2時(shí),恒有x<
2+f(x)
2-f(x)
成立;
(Ⅲ)把函數(shù)h(x)的圖象向上平移6個(gè)單位得到函數(shù)h1(x)的圖象,試確定函數(shù)y=g(x)-h1(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年重慶市名校聯(lián)盟高二(下)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

給出定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-mf(x),,已知g(x)在x=1處取極值.
(1)求m的值及函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)x∈(1,e2)時(shí),恒有>x成立.

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