Question

已知f(x)=在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）{m|m≥2，或m≤－2}.

【解析】

試題分析：

思路分析：（Ⅰ）根據(jù)f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，可得到f＇(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，即x²－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立.轉(zhuǎn)化成(x)=x²－ax－2，二次函數(shù)問題。處理的方法較多。

（Ⅱ）由

從而可以得到x²－ax－2=0的兩非零實(shí)根x₁，x₂的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化成

“要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立“同樣將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題。      

解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2  ∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，

∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(shè)(x)=x²－ax－2，

方法一：

① －1≤a≤1，

∵對(duì)x∈[－1，1]，只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二：

① 或

0≤a≤1或－1≤a<0

 －1≤a≤1.

∵對(duì)x∈[－1，1]，只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由

∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實(shí)根，

∴ 

從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

②

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；

當(dāng)m≠0時(shí)，

②或

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題主要利用“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題，通過確定函數(shù)的最值，達(dá)到確定參數(shù)范圍的目的。