Question

已知a_n=-n²+9n+10(n∈N^*)是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.求:

(1)數(shù)列{a_n}的最大值;

(2)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n取最大值時(shí)的n.

Answer 1

解:(1)方法一:∵a_n+1-a_n=［-(n+1)²+9(n+1)+10］-(-n²+9n+10)=-2(n-4),

    當(dāng)n＜4時(shí),a_n+1＞a_n;

    當(dāng)n＞4時(shí),a_n+1＜a_n;

    當(dāng)n=4時(shí),a_n+1=a_n,

    即a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅＞a₆＞….

∴n=4或n=5時(shí),a_n最大,此時(shí)a₄=a₅=30.

    方法二:a_n=-n²+9n+10對(duì)應(yīng)函數(shù)y=-x²+9x+10(x＞0),

    其圖象的對(duì)稱軸為x=,易確定n=4或n=5時(shí),a_n最大,最大值為30.

(2)∵a_n對(duì)應(yīng)函數(shù)y=-x²+9x+10,當(dāng)y≥0時(shí)有-1≤x≤10,

∴當(dāng)1≤n≤10時(shí),a_n≥0;當(dāng)n＞10時(shí),a_n＜0,

    即有S₁＜S₂＜S₃＜…＜S₉=S₁₀＞S₁₁＞S₁₂＞…,

    故S_n取到最大值時(shí)的n為9或10.