Question

將邊長為2，有一內(nèi)角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成四面體ABCD，點E、F分別為AC、BD的中點，則下列命題中正確的是

②③④

；（將正確的命題序號全填上）．
①EF∥AB；
②EF與異面直線AC、BD都垂直；
③當四面體ABCD的體積最大時，AC=

6

；
④AC垂直于截面BDE．

Answer 1

分析：畫出圖形，利用翻折前后線面關(guān)系，角的關(guān)系，逐一分析各個選項的正確性，把正確的選項找出來．

解答：解：如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，故①不正確；
由等腰三角形的中線性質(zhì)得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，且EF⊥AC，故②正確；
當四面體ABCD的體積最大時，因為等邊△ABD的面積為定值，
故面SBD⊥面ABD，CF為四面體的高，
AC=

CF2+FA2

=

3+3

=

6

，故③正確．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故④正確；
故答案為：②③④．

點評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，注意在翻折過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化；位于折線同側(cè)的元素關(guān)系不變，位于折線兩側(cè)的元素關(guān)系會發(fā)生變化