Question

已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）滿足，且．
（1）求點(diǎn)P₁坐標(biāo)，并寫出過點(diǎn)P₀，P₁的直線L的方程；
（2）猜測(cè)點(diǎn)P_n（n≥2）與直線L的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）由得，得P₁坐標(biāo)為（）（2分）
顯然直線L的方程為x+y=1（4分）
（2）由得，∴點(diǎn)P₂∈L，
猜想點(diǎn)P_n（n≥2，n∈N）在直線L上，（6分）
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=2時(shí)，點(diǎn)P₂∈L
當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，點(diǎn)P_k∈L，即a_k+b_k=1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=，
∴點(diǎn)P_k+1∈L∴點(diǎn)P_n∈L（n≥2）（11分）
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=，a_n+b_n=1
得a_n+1=
∴（14分）
∴是等差數(shù)列，∴，
∴（18分）
分析：解：（1）由得，得P₁坐標(biāo)為（），最后寫出直線L的方程即可；
（2）由條件得出點(diǎn)P₂∈L，猜想點(diǎn)P_n（n≥2，n∈N）在直線L上．再利用用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，得出a_n+1=從而得出故有：是等差數(shù)列，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的一般式方程、數(shù)列遞推式、數(shù)列和解析幾何的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．