Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（3）張三同學(xué)利用第（2）題中的T_n設(shè)計(jì)了一個(gè)程序流程圖，但李四同學(xué)認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無法束）．你是否同意李四同學(xué)的觀點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+1，則…（4分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n-1為偶數(shù)，
則…（9分）
（3）記d_n=T_n-P
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47
∴從第4項(xiàng)開始，數(shù)列{d_n}的偶數(shù)項(xiàng)開始遞增，而d₂，d₄，…d₁₀d都小于2005d₁₂＞2005
∴d_n=2005（n為偶數(shù)）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
∴從第5項(xiàng)開始，數(shù)列{d_n}的偶數(shù)項(xiàng)開始遞增，而d₁，d₃…d₁₁都小于2005，d₃＞2005
則d_n≠2005（n為奇數(shù)）
李四的觀點(diǎn)正確．（14分）
分析：（1）由，令n=1，求得數(shù)列的首項(xiàng)，再利用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）數(shù)列數(shù)列{c_n}滿足c_n=，（k∈N*），利用分組求和求出數(shù)列cn的前n項(xiàng)的和；
（3）記d_n=T_n-P，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47；n為奇數(shù)時(shí)，，，分析即可求解．
點(diǎn)評：此題以程序圖為載體考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，還考查了學(xué)生分類討論的思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．