【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a=（ ）
A.﹣
B.
C.
D.1

【答案】C
【解析】解：因為f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函數(shù)f（x）有唯一零點等價于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等價于函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個交點．
①當a=0時，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此時有兩個零點，矛盾；
②當a＜0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最高點為B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此時函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象有兩個交點，矛盾；
③當a＞0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，
所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最低點為B（1，2a），
由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1，即a= ，符合條件；
綜上所述，a= ，
故選：C．
通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個交點求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（　�。�
A.[﹣ ，2]
B.[﹣ ， ]
C.[﹣2 ，2]
D.[﹣2 ， ]

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（Ⅰ）若 ∥ ，求x的值；
（Ⅱ）記f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．

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（1）設(shè)f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；

（2）設(shè)計一個函數(shù)f（x）及一個α的值，使得；

（3）當f（x）=|sinx|+cosx，時，存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=excosx﹣x．（13分）
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，解析式為f(x)＝.

(1)求f(x)在R上的解析式；

(2)用定義證明f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某研究型學習小組調(diào)查研究高中生使用智能手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

使用智能手機

不使用智能手機

合計

學習成績優(yōu)秀

學習成績不優(yōu)秀

合計

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你是否有的把握認為使用智能手機對學習有影響？

（2）為進一步了解學生對智能手機的使用習慣，現(xiàn)從全校使用智能手機的高中生中（人數(shù)很多）隨機抽取 人，求抽取的學生中學習成績優(yōu)秀的與不優(yōu)秀的都有的概率.

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】雙曲線E： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， P是E坐支上一點，且|PF1|=|F1F2|，直線PF2與圓x2+y2=a2相切，則E的離心率為 ．

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同步練習冊答案