已知點的序列An(xn,0),n∈N*,其中xl=0,x2=a(a>0),A3是線段AlA2的中點,A4是線段A2A3的中點,…,An是線段An-2An-1的中點,….
(1)寫出xn與xn-1、xn-2之間的關系式(n≥3);
(2)設an=xn+1-xn,計算al,a2,a3,由此推測數(shù)列{an}的通項公式,并加以證明.
分析:(1)根據(jù)題意,An是線段An-2An-1的中點,可得xn與xn-1、xn-2之間的關系式,
(2)由題意知a1=a,a2=-
1
2
a,a3=
1
4
a,由此推測:an=(-
1
2
n-1a(n∈N*)再進行證明.
解答:解:(1)根據(jù)題意,An是線段An-2An-1的中點,則有
當n≥3時,xn=
xn-1+xn-2
2

(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=
x2+x1
2
-x2=-
1
2
(x2-x1)=-
1
2
a,
a3=x4-x3=
x3+x2
2
-x3=-
1
2
(x3-x2)=-
1
2
(-
1
2
a)=
1
4
a,
由此推測:an=(-
1
2
n-1a(n∈N*).
證明如下:因為a1=a>0,且an=xn+1-xn=
xn+xn-1
2
-xn=
xn-1-xn
2

=-
1
2
(xn-xn-1
=-
1
2
an-1(n≥2),
所以an=(-
1
2
n-1a.
點評:本題考查數(shù)列的性質和應用,解題時要注意公式的靈活運用.
練習冊系列答案
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(1)寫出xn與xn-1、xn-2之間的關系(n≥3);

(2)設an=xn+1-xn,計算a1,a2,a3,由此推測數(shù)列{an}的通項公式,并加以證明

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(Ⅱ)設anx n1xn,計算a1,a2a3,由此推測數(shù)列{an}的通項公式,并加以證明;

 

(Ⅲ)求xn.

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