Question

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線E：y²=2px，在拋物線上任意畫一個點S，度量點S的坐標（x_S，y_S），如圖．
（Ⅰ）拖動點S，發(fā)現(xiàn)當x_S=4時，y_S=4，試求拋物線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線E的頂點為A，焦點為F，構(gòu)造直線SF交拋物線E于不同兩點S、T，構(gòu)造直線AS、AT分別交準線于M、N兩點，構(gòu)造直線MT、NS．經(jīng)觀察得：沿著拋物線E，無論怎樣拖動點S，恒有MT∥NS．請你證明這一結(jié)論．
（Ⅲ）為進一步研究該拋物線E的性質(zhì)，某同學(xué)進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點F”改變?yōu)槠渌�“定點G（g，0）（g≠0）”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“MT與NS不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“MT∥NS”成立？如果可以，請寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把x_S=4，y_S=4代入y²=2px，得p，即可求出拋物線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：my=x-1，代入拋物線方程，求出M，N的坐標，可得

MT

、

NS

的坐標，證明

MT

∥

NS

，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)拋物線E：y²=4x的頂點為A，定點G（g，0）（g≠0），過點G的直線l與拋物線E相交于S、T兩點，直線AS、AT分別交直線x=-g于M、N兩點，則MT∥NS．

解答： 解：（Ⅰ）把x_S=4，y_S=4代入y²=2px，得p=2，…（3分）
因此，拋物線E的方程y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）因為拋物線E的焦點為F（1，0），設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
依題意可設(shè)直線l：my=x-1，
代入拋物線方程得y²-4my-4=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4 ①…（6分）
又因為l_AS：y=

y1

x1

•x，l_AT：y=

y2

x2

•x，
所以M（-1，-

y1

x1

），N（-1，-

y2

x2

），
所以

MT

=（x₂+1，y₂+

y1

x1

），

NS

=（x₁+1，y₁+

y2

x2

），…（7分）
又因為（y₂+

y1

x1

）（x₁+1）-（y₁+

y2

x2

）（x₂+1），…（8分）
=（y₁-y₂）（

y12y22-16

4y1y2

），②
把①代入②，得（y₁-y₂）（

y12y22-16

4y1y2

）=0，…（10分）
即（y₂+

y1

x1

）（x₁+1）-（y₁+

y2

x2

）（x₂+1）=0，
所以

MT

∥

NS

，
又因為M、T、N、S四點不共線，所以MT∥NS．…（11分）
（Ⅲ）設(shè)拋物線E：y²=4x的頂點為A，定點G（g，0）（g≠0），過點G的直線l與拋物線E相交于S、T兩點，直線AS、AT分別交直線x=-g于M、N兩點，則MT∥NS．…（14分）

點評：本小題主要考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等．