Question

已知b為二項(xiàng)式（9+x）ⁿ展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和，且

lim

n→∞

b+an

10b+an+1

=

1

a

，則實(shí)數(shù)a取值范圍是

（-∞，-10）∪[10，+∞）

．

Answer 1

分析：依題意，b=10ⁿ，再由

lim

n→∞

10n+an

10n+1+an+1

=

1

a

⇒|a|≥10且a≠-10，解此不等式即可得答案．

解答：解：∵b為二項(xiàng)式（9+x）ⁿ展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和，
∴b=（9+1）ⁿ=10ⁿ，
∴

lim

n→∞

b+an

10b+an+1

=

lim

n→∞

10n+an

10n+1+an+1

=

1

a

，
∴|a|≥10且a≠-10，
∴a＜-10或a≥10．
∴實(shí)數(shù)a取值范圍是a＜-10或a≥10．
故答案為：（-∞，-10）∪[10，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求極限，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得b=10ⁿ，繼而求得|a|≥10且a≠-10是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，忽略a≠-10是易錯(cuò)點(diǎn)，考查縝密思維，細(xì)心思維，屬于難題．