Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-4x+a（a＞0），若f（x）的三個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則（　�。�

• A、x₁＞-2
• B、x₁²+x₂²＜

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  3

• C、x₃＞2
• D、x₂²+x₃²＜

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，再根據(jù)f （x）的三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f （x）=x³-4x+a，a＞0，∴f′（x）=3x²-4．
令f′（x）=0，得 x=±

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3

．
當(dāng)x＜-

2 3

3

時(shí)，f′（x）＞0；在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上，f′（x）＜0；
在（

2 3

3

，+∞）上，f′（x）＞0．
故函數(shù)在（-∞，-

2 3

3

）上是增函數(shù)，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是減函數(shù)，在（

2 3

3

，+∞）上是增函數(shù)．
故f（-

2 3

3

）是極大值，f（

2 3

3

）是極小值．
再由f （x）的三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，f（0）=a＞0，
可得 x₁＜-

2 3

3

＜0＜x₂＜

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3

＜x₃，又f（2）=a＞0，∴x₃＜2，
∴x22+x32＜(

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3

)2+2²=

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，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．