Question

已知函數(shù)f（x）=|log_a（x+1）|（a≥2）的定義域為[m，n]，值域為[0，2]，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點（m，n）的運動軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積的最小值為（　�。�

• A．4
• B．2
• C．

  9

  4

• D．

  17

  4

Answer 1

分析：作出函數(shù)f（x）=）=|log_a（x+1）|的圖象，令|log_a（x+1）|=2，解得x=a²-1或x=

1

a2

-1，由圖象可得m，n所滿足的不等式，由線性規(guī)劃知識可畫出點（m，n）的軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形，從而可表示出面積S，利用導(dǎo)數(shù)可求得S的最小值．

解答：解：作出函數(shù)f（x）=）=|log_a（x+1）|的圖象，如圖所示：
令|log_a（x+1）|=2，解得x=a²-1或x=

1

a2

-1，
∵f（x）的定義域為[m，n]，值域為[0，2]，
∴由圖象可得，

n=a2-1 1 a2 -1≤m≤0

或

m= 1 a2 -1 0≤n≤a2-1

，
點（m，n）的運動軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形如圖陰影所示：
則陰影面積S=（a²-1）（1-

1

a2

）=a²+

1

a2

-2，
令t=a²（t≥4），則S=t+

1

t

-2，S′=1-

1

t2

＞0，S在[4，+∞）上遞增，
∴S的最小值為4+

1

4

-2=

9

4

，當(dāng)t=4時取得等號，
故選C．

點評：本題考查函數(shù)的定義域、值域及線性規(guī)劃知識，考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，屬中檔題，由函數(shù)定義域、值域得到m，n滿足的條件并畫出可行域是解決本題的關(guān)鍵．