Question

觀察下列不等式：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…照此規(guī)律，第n（n∈N₊，n≥5）個不等式為

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：由已知中不等式：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…依題意觀察不等式的左邊的變化是一個數(shù)列{

1

n2

}的求和形式，最后一項是

1

(n+1)2

，不等式的右邊是

2n+1

n+1

的形式，進而得到答案．

解答： 解：由已知中不等式：
1+

1

22

＜

3

2

，
1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，
…
依題意觀察不等式的左邊的變化是一個數(shù)列{

1

n2

}的求和形式．
最后一項是

1

(n+1)2

．
不等式的右邊是

2n+1

n+1

的形式．
所以第n個式子應該是1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

．
故答案為：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

點評：本題考查的知識點是：1．歸納推理.2．數(shù)列求和的思想.3．數(shù)列的通項，難度中檔．