分析 (1)通過數(shù)列{an}是首項為$\frac{2}{3}$,公比為$-\frac{1}{3}$的等比數(shù)列求出通項公式,然后求解${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{2}$.
(2)若bn=n,通過an=Sn-Sn+1,得到遞推關(guān)系式,化簡推出數(shù)列{an}是首項為2公差為1的等差數(shù)列,求出通項公式.
(3)由(2)知${c_n}=\frac{n+1}{n}$,對于給定的n∈N*,若存在k,t≠n,且t,k∈N*,使得cn=ck•ct,證明$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$,構(gòu)造$t=\frac{n(k+1)}{k-n}$,然后證明數(shù)列{cn}中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積.
解答 解:(1)因為數(shù)列{an}是首項為$\frac{2}{3}$,公比為$-\frac{1}{3}$的等比數(shù)列
所以${a_n}=\frac{2}{3}•{(-\frac{1}{3})^{n-1}}$,${S_n}=\frac{{1-{{(-\frac{1}{3})}^n}}}{2}$…(3分)
所以${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{2}$…(4分)
(2)若bn=n,則2Sn=(an+2)n,所以2Sn+1=(n+1)(an+1+2)
所以2an+1=(n+1)an+1-nan+2,即(n-1)an+1+2=nan…(5分)
所以nan+2+2=(n+1)an+1
所以nan+2-(n-1)an+1=(n+1)an+1-nan
所以an+an+2=2an+1…(7分)
又由2S1=a1+2,得:a1=2…(8分)
所以數(shù)列{an}是首項為2公差為1的等差數(shù)列
所以an=n+1…(10分)
(3)證明:由(2)知${c_n}=\frac{n+1}{n}$,
對于給定的n∈N*,若存在k,t≠n,且t,k∈N*,使得cn=ck•ct,
只需$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$…(12分)
只需$t=\frac{n(k+1)}{k-n}$…(14分)
取k=n+1,則t=n(n+2)…(16分)
所以對于數(shù)列{cn}中的任意一項${c_n}=\frac{n+1}{n}$,
都存在Cn+1=$\frac{n+2}{n+1}$與Cn(n+2)=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}+2n}$,使得cn=cn+1•cn(n+2),
即數(shù)列{cn}中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積…(18分)
點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,考查數(shù)列通項公式的求法,數(shù)列求和,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $0<a≤\frac{π}{2}$ | B. | $0<a≤\frac{π}{12}$ | ||
C. | $a=kπ+\frac{π}{12},k∈{N^*}$ | D. | $2kπ<a≤2kπ+\frac{π}{12},k∈N$ |
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A. | 336種 | B. | 320種 | C. | 192種 | D. | 144種 |
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A. | [-1,0] | B. | [0,1] | C. | [1,2] | D. | [2,3] |
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