Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a，b都是從集合{1，2，3，4}中任取的數(shù)字，求方程有實(shí)根的概率；
（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，4]中任取的數(shù)字，b是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)字，求方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）列舉所有的情況，找出方程有實(shí)根的事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算即可；
（Ⅱ）畫(huà)出a是從區(qū)間[0，4]中任取的數(shù)字，b是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)字的可行域，找出方程有實(shí)根的事件所代表的平面區(qū)域，利用幾何概型概率公式計(jì)算即可．

解答： 解：（I）設(shè)事件A為“方程有實(shí)根”，
記（a，b）為取到的一種組合，則所有的情況有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
一共16種且每種情況被取到的可能性相同．
∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根，
∴△=4a²-4b²≥0，
∴a≥b．
∴事件A包含的基本事件有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），
（4，3），（4，4）共10種．
∴P（A）=

10

16

=

5

8

．
∴方程有實(shí)根的概率是

5

8

．
（Ⅱ）設(shè)事件B=“方程有實(shí)根”，記（a，b）為取到的一種組合．
∵a是從區(qū)間[0，4]中任取的數(shù)字，b是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)字，
∴點(diǎn)（a，b）所在區(qū)域是長(zhǎng)為4，寬為3的矩形區(qū)域．
又∵滿足a≥b的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分．
∴P（B）=

1 2 ×3×3

3×4

=

3

8

．
∴方程有實(shí)根的概率是

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型和幾何概型的概率計(jì)算，以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，屬于中檔題．