Question

17．已知f（x）是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a、b都滿足f（ab）=af（b）+bf（a），則函數(shù)f（x）（　�。�

• A． 是奇函數(shù)
• B． 是偶函數(shù)
• C． 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
• D． 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

Answer 1

分析 由題意可得給a，b賦值，即令a=b=1，可得f（1）=0，再令a=b=-1，可得f（-1）=0，令a=x，b=-1，即可得到答案．

解答 解：由題意可得：令a=b=1，則有f（1）=2f（1），
所以f（1）=0，
再令a=b=-1，則有f（1）=-2f（-1），
所以f（-1）=0，
若令a=x，b=-1，
所以有f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），即f（-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的定義，即f（-x）與f（x）的關(guān)系，而研究抽象函數(shù)的奇偶性一般運(yùn)用的方法是賦值法，此題是個(gè)基礎(chǔ)題．