Question

已知函數(shù)f(x)=2x，g(x)=

1

2|x|

+2
（1）求函數(shù) g（x）的值域；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)．
（3）當(dāng)x＜0時(shí)，解不等式f（x）+g（x）＞3．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù) g（x）=

1

2|x|

+2，且 2^|x|≥1，可得 2＜

1

2|x|

+2≤3，從而求得函數(shù) g（x）的值域．
（2）分x≥0和x＜0兩種情況，分別求得函數(shù)h（x）的零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．
（3）當(dāng)x＜0時(shí)，不等式即 2^x+

1

2-x

+2＞3，即 2^2x+2^x-1＞0，求得2^x的范圍，即可求得x的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù) g（x）=

1

2|x|

+2，而 2^|x|≥1，∴2＜

1

2|x|

+2≤3，
故函數(shù) g（x）的值域?yàn)椋?，3]．
（2）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=2^x-

1

2|x|

-2，當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）=2^x-

1

2x

-2．
令 h（x）=0 可得2^2x-2•2^x-1=0，解得 2^x=1+

2

，或 2^x=1-

2

（舍去），故x=log2(1+

2

)．
當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）=-2，故h（x）無零點(diǎn)．
綜上，函數(shù)h（x）的零點(diǎn)是 x=log2(1+

2

)．
（3）當(dāng)x＜0時(shí)，0＜2^x＜1，不等式f（x）+g（x）＞3，即 2^x+

1

2-x

+2＞3，即 2^2x+2^x-1＞0．
解得 2^x＜

-1- 5

2

（舍去），或 2^x＞

-1+ 5

2

，
綜合可得，1＞2^x＞

-1+ 5

2

，故有0＞x＞log2

-1+ 5

2

，故不等式的解集為{x|0＞x＞log2

-1+ 5

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，一元二次不等式的解法，對(duì)數(shù)不等式的解法，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，屬于中檔題．