Question

過點C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點、，過點C的直線與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．

（I）當直線過橢圓右焦點時，求線段CD的長；
（II）當點P異于點B時，求證：為定值．

Answer 1

（I）    （II）=4

試題分析：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為．
橢圓的右焦點為，此時直線的方程為 ，代入橢圓方程得，解得，代入直線的方程得 ，所以      
，故．     
（Ⅱ）當直線與軸垂直時與題意不符．
設(shè)直線的方程為．代入橢圓方程得．
解得，代入直線的方程得，
所以D點的坐標為．
又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯(lián)立得因此，又．所以．故為定值．  
點評：本題主要考察了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與曲線相交的弦長公式的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標表示的應(yīng)用，屬于圓錐曲線問題的綜合應(yīng)用