Question

已知f（x）=-，數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)在曲線y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且滿足，b₁=1，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：S_n＞，n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1），且a_n＞0，所以，所以，（n∈N^*），由此能求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式．
（2）由，，得（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
所以，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由，知＞．由此能夠證明S_n＞，n∈N^*．
解答：（1）解：，且a_n＞0，
∴，
∴，（n∈N^*），
∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，首項(xiàng)=1，公差d=4
∴，
∴，
∵a_n＞0，
∴…（4分）
（2）解：由，
得（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
∴，
∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1
∴，∴T_n=4n²-3n當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=8n-7b₁=1也滿足上式
∴b_n=8n-7，n∈N^*．…（8分）
（3）證明：，
∴＞
=．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＞…（12分）
點(diǎn)評：本題首先考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)解決不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求具有較強(qiáng)的計(jì)算能力，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．