已知f(x)=-,數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)在曲線y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0.
(1)求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且滿足,b1=1,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)求證:Sn,n∈N*
【答案】分析:(1),且an>0,所以,所以,(n∈N*),由此能求出數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.
(2)由,,得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),
所以,由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(3)由,知.由此能夠證明Sn,n∈N*
解答:(1)解:,且an>0,
,
,(n∈N*),
∴數(shù)列{}是等差數(shù)列,首項(xiàng)=1,公差d=4
,
,
∵an>0,
…(4分)
(2)解:由,
得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),
,
∴數(shù)列是等差數(shù)列,首項(xiàng)為,公差為1
,∴Tn=4n2-3n當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=8n-7b1=1也滿足上式
∴bn=8n-7,n∈N*.…(8分)
(3)證明:

=
∴Sn=a1+a2+…+an…(12分)
點(diǎn)評:本題首先考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)解決不等式的處理問題,對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,要求具有較強(qiáng)的計(jì)算能力,本題有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),則
lim
t→0
f(1+2t)-f(1)
t
的值為( 。

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已知f(x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x),且f(x)=x2+2x•f′(1),則f′(1)等于( 。

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已知f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),下列說法正確的有
②,④
②,④

①f′(x)>0的解集為函數(shù)的增區(qū)間.
②f(x)在區(qū)間上遞增則f′(x)≥0.
③極大值一定大于極小值.
④極大值有可能小于極小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知f(x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x),且f(x)=x2+2x•f′(1),則f′(1)等于(  )
A.-2B.2C.1D.-4

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已知f(x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x),且f(x)=x2+2x•f′(1),則f′(1)等于( )
A.-2
B.2
C.1
D.-4

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