Question

【題目】平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率，過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為1.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）記橢圓的上,下頂點分別為A,B，設過點的直線與橢圓分別交于點，求證：直線必定過一定點，并求該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，定點坐標為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由及通徑解方程組求出的值即可；（Ⅱ）直線方程為:

，直線方程為：，即．分別與橢圓聯(lián)立方程組，由韋達定理可解得：,求出直線的方程化簡即可.

試題解析：（Ⅰ）由可得，

因過點F 垂直于x軸的直線被橢圓所截得弦長為，，

所以，橢圓方程為

（Ⅱ）點的坐標為

直線方程為:，直線方程為：，即．

分別與橢圓聯(lián)立方程組，可得：

和，

由韋達定理可解得：

．

如果考慮消去，得到：及

進一步亦可得到

直線的斜率，則直線方程為：，化簡可得直線的方程為，

恒過定點．

所以直線必過軸上的一定點．1