Question

已知點A（-1，2）是拋物線C：y=2x²上的點，直線l₁過點A，且與拋物線C 相切，直線l₂：x=a（a≠-1）交拋物線C于點B，交直線l₁于點D．
（1）求直線l₁的方程；
（2）設(shè)△BAD的面積為S₁，求|BD|及S₁的值；
（3）設(shè)由拋物線C，直線l₁，l₂所圍成的圖形的面積為S₂，求證：S₁：S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=2x²，得y′=4x．當(dāng)x=-1時，y'=-4．由此能求出l₁的方程．
（2）由，得：B點坐標(biāo)為（a，2a²）．由，得D點坐標(biāo)（a，-4a-2）．點A到直線BD的距離為|a+1|．由此能求出|BD|及S₁的值．
（3）當(dāng)a＞-1時，S₁=（a+1）³，S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx=．S₁：S₂=．當(dāng)a＜-1時，S₁=-（a+1）³，S₂=∫_a^-1[2x²-（-4x-2）]dx=∫_a^-1（2x²+4x+2）dx=．S₁：S₂=，綜上可知S₁：S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是．
解答：解：（1）由y=2x²，得y′=4x．當(dāng)x=-1時，y'=-4．（2分）
∴l(xiāng)₁的方程為y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
（2）由，得：B點坐標(biāo)為（a，2a²）．（4分）
由，得D點坐標(biāo)（a，-4a-2）．（5分）
∴點A到直線BD的距離為|a+1|．（6分）
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²
∴S₁=|a+1|³．（7分）
（3）當(dāng)a＞-1時，S₁=（a+1）³，（8分）
S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx
=
=．（9分）
∴S₁：S₂=．（11分）
當(dāng)a＜-1時，S₁=-（a+1）³
S₂=∫_a^-1[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_a^-1（2x²+4x+2）dx
=．（13分）
∴S₁：S₂=，綜上可知S₁：S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是．（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意雙曲線的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、定積分的靈活運用，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．