如圖,三棱柱A1B1C1-ABC中,平面A1AB⊥平面ABC,平面A1AC⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3.
(Ⅰ) 求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ) 求異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值;
(Ⅲ) 求點B1到平面ABC1的距離.

解:(Ⅰ)證明:∵平面A1AB⊥平面ABC,平面A1AB∩平面ABC=AB,CA⊥AB
∴CA⊥平面A1AB
∴CA⊥A1A…(4分)
同理 BA⊥A1A,
又 CA∩BA=A
∴A1A⊥平面ABC…(6分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AB,AC,A1A兩兩垂直,
因此可以A為坐標原點,線段AB,AC,A1A所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz 則 …(7分)
=(2,0,3),=-=(-2,2,3)…(8分)
∴cos<,>==…9分
∴異面直線異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值是 …(10分)
(Ⅲ)設(shè)平面ABC1的法向量為=(x,y,z),
=(0,2,3),=(2,0,0)
,即
令y=-2,則=(0,-3,2)…(12分)
∴d==
∴點B1到平面ABC1的距離是 …(14分)
分析:(I)由已知中平面A1AC⊥平面ABC,∠BAC=90°,由面面垂直的性質(zhì)可得CA⊥A1A,及BA⊥A1A,進而由線面垂直的判定定理得到AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)以A為坐標原點,線段AB,AC,A1A所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,分別求出異面直線AB1與BC1的方向向量代入向量夾角公式,即可求出異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值;
(Ⅲ)求出平面ABC1的法向量,代入點到平面距離公式d=,即可得到答案.
點評:本題考查的知識點是點到面距離的計算,線面垂直的判定,異面直線及其所成的角,其中(I)的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直、線面垂直及線線垂直之間的相互轉(zhuǎn)化,(II)(III)的關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼,利用向量法進行求解.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形,側(cè)面ABB1A1是菱形且垂直于底面,∠A1AB=60°,M是A1B1的中點.
(1)求證:BM⊥AC;
(2)求二面角B-B1C1-A1的正切值.

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精英家教網(wǎng)如圖,三棱柱A1B1C1-ABC的三視圖中,主視圖和左視圖是全等的矩形,俯視圖是等腰直角三角形,已知點M式A1B1的中點.
(I)求證B1C∥平面AC1M;
(Ⅱ)設(shè)AC與平面AC1M的夾角為θ,求sinθ.

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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中點.
(Ⅰ)求證:A1B∥平面AMC1;
(Ⅱ)求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值;
(Ⅲ)試問:在棱A1B1上是否存在點N,使AN與MC1成角60°?若存在,確定點N的位置;若不存在,請說明理由.

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如圖,三棱柱ABC-A1B1 C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,AB=BC=AA1=2,AC=2
2
,E,F(xiàn)分別是A1B,BC的中點.
(Ⅰ)證明:EF∥平面AAlClC;
(Ⅱ)證明:AE⊥平面BEC.

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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形,側(cè)面ABB1A1是菱形且垂直于底面,∠A1AB=60°,M是A1B1的中點.
(1)求證:BM⊥AC;
(2)求二面角B-B1C1-A1的正切值;
(3)求三棱錐M-A1CB的體積.

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