Question

如圖，三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，平面A₁AB⊥平面ABC，平面A₁AC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=3．
（Ⅰ） 求證：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ） 求異面直線AB₁與BC₁所成的角的余弦值；
（Ⅲ） 求點B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵平面A₁AB⊥平面ABC，平面A₁AB∩平面ABC=AB，CA⊥AB
∴CA⊥平面A₁AB
∴CA⊥A₁A…（4分）
同理 BA⊥A₁A，
又 CA∩BA=A
∴A₁A⊥平面ABC…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB，AC，A₁A兩兩垂直，
因此可以A為坐標原點，線段AB，AC，A₁A所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz 則 …（7分）
=（2，0，3），=-=（-2，2，3）…（8分）
∴cos＜，＞==…9分
∴異面直線異面直線AB₁與BC₁所成的角的余弦值是 …（10分）
（Ⅲ）設(shè)平面ABC₁的法向量為=（x，y，z），
則=（0，2，3），=（2，0，0）
∴，即
令y=-2，則=（0，-3，2）…（12分）
∴d==
∴點B₁到平面ABC₁的距離是 …（14分）
分析：（I）由已知中平面A₁AC⊥平面ABC，∠BAC=90°，由面面垂直的性質(zhì)可得CA⊥A₁A，及BA⊥A₁A，進而由線面垂直的判定定理得到AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）以A為坐標原點，線段AB，AC，A₁A所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，分別求出異面直線AB₁與BC₁的方向向量代入向量夾角公式，即可求出異面直線AB₁與BC₁所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求出平面ABC₁的法向量，代入點到平面距離公式d=，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是點到面距離的計算，線面垂直的判定，異面直線及其所成的角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直、線面垂直及線線垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（II）（III）的關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼�，利用向量法進行求解．