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已知函數,m>0且f(1)=-1.
(1)求實數m的值;
(2)判斷函數y=f(x)在區(qū)間(-∞,m-1]上的單調性,并用函數單調性的定義證明;
(3)求實數k的取值范圍,使得關于x的方程f(x)=kx分別為:
①有且僅有一個實數解;
②有兩個不同的實數解;
③有三個不同的實數解.
【答案】分析:(1)將已知條件f(1)=-1,解得|m|=1,再結合m是正數,可得m=1;
(2)將(1)的結論代入得(-∞,m-1]=(-∞,0]根據函數單調性的定義,可設x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,通過作差化簡整理,最后得到f(x1)-f(x2)<0,說明函數在區(qū)間(-∞,m-1]上是個增函數;
(3)首先,方程f(x)=kx有一個解x=0,然后分x>0和x<0加以討論:當x>0且x≠2時,方程轉化為,得到,解不等式得或k>0;當x<0時,則,解得,解不等式得.最后綜合可得方程f(x)=kx解集的情況.
解答:解:(1)由f(1)=-1,得,|m|=1,
∵m>0,∴m=1. (4分)
(2)由(1),m=1,從而,只需研究f(x)在(-∞,0]上的單調性.
當x∈(-∞,0]時,
設x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,則,(6分)
∵x1<x2≤0,∴x1-x2<0,x1-2<0,x2-2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函數f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是單調遞增函數. (10分)
(3)原方程即為…①
x=0恒為方程①的一個解. (11分)
若x<0時方程①有解,則,解得,
,得 ; (13分)
若x>0且x≠2時方程①有解,則,解得,
,得或k>0. (15分)
綜上可得,當時,方程f(x)=kx有且僅有一個解;
時,方程f(x)=kx有兩個不同解;
時,方程f(x)=kx有三個不同解.   (18分)
點評:本題以含有絕對值的分式函數的形式為例,考查了函數零點的分布與單調性等知識點,屬于難題.
練習冊系列答案
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(1)求實數m的值;
(2)判斷函數y=f(x)在區(qū)間(-∞,m-1]上的單調性,并用函數單調性的定義證明;
(3)求實數k的取值范圍,使得關于x的方程f(x)=kx分別為:
①有且僅有一個實數解;
②有兩個不同的實數解;
③有三個不同的實數解.

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(1)求函數f(x)的另一個極值點;
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