Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F(xiàn)為PC上一點，且
EF∥面PAD．
（I）證明：F為PC的中點；
（II）若AB=2，求二面角C-PD-E的平面角的余弦值．

Answer 1

證明：（I）以A為坐標原點，AB，AD，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，
設(shè)AB=2a
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（a，0，0），
∴設(shè)==（2aλ，λ，-λ），則=（-a+2aλ，λ，1-λ）
∵=（2a，0，0）為平面PAD的一個法向量，且EF∥面PAD
∴•=0
即2a•（-a+2aλ）=0，
∴λ=
故F為PC的中點；
解：（II）若AB=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（1，0，0），
則=（0，1，-1），=（2，1，-1），=（1，0，-1）
設(shè)=（a，b，c）為平面PCD的一個法向量
則，
則=（0，1，1）為平面PCD的一個法向量
設(shè)=（x，y，z）為平面PDE的一個法向量
則
則=（1，1，1）為平面PDE的一個法向量
設(shè)二面角C-PD-E的平面角為θ
則cosθ==
即二面角C-PD-E的平面角的余弦值為
分析：（I）以A為坐標原點，AB，AD，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，設(shè)=，AB=2a，設(shè)我們分別求出向量的坐標及平面PAD的法向量的坐標，根據(jù)兩個向量垂直數(shù)量積為0，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程，解方程求出λ值，即可判斷F點的位置；
（II）若AB=2，我們分別求出平面PCD的一個法向量和平面PDE的一個法向量，然后代入向量夾角公式，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的性質(zhì)，其中建立空間坐標系，將線面平行問題及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．