Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于A點(diǎn)，若F₁（-1，0），且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₁、F₂作互相垂直的兩直線分別與橢圓交于P、Q、M、N四點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（I） 先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（a²，0），利用

AF1

=2

AF2

，可得F₂是AF₁的中點(diǎn)，由此可求橢圓方程；
（II）當(dāng)直線MN與PQ中有一條與x軸垂直時(shí)，四邊形PMQN面積S=

1

2

|MN|•|PQ|=4；當(dāng)直線PQ，MN均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ、MN的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得|PQ|，|MN|，表示出四邊形PMQN面積，再換元，即可求得四邊形PMQN面積的取值范圍．

解答：解：（I） 由F₁（-1，0）得c=1，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（a²，0）；…（2分）
∵

AF1

=2

AF2

，∴F₂是AF₁的中點(diǎn)，∴a²=3，b²=2
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（5分）
（II）當(dāng)直線MN與PQ中有一條與x軸垂直時(shí)，四邊形PMQN面積S=

1

2

|MN|•|PQ|=4；…（6分）
當(dāng)直線PQ，MN均與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)PQ：y=k（x+1）（k≠0），
聯(lián)立

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

代入消去y得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x1+x2=

-6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

…（8分）
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，同理|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+3 1 k2

∴四邊形PMQN面積S=

1

2

|MN||PQ|=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

…（10分）
令u=k2+

1

k2

，則u≥2，S=

24(u+2)

6u+13

=4-

4

6u+13

，則S是以u(píng)為變量的增函數(shù)
所以當(dāng)k=±1，u=2時(shí)，Smin=

96

25

，∴

96

25

≤S＜4
綜上可知，

96

25

≤S≤4，∴四邊形PMQN面積的取值范圍為[

96

25

，4]…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，正確表示四邊形的面積是關(guān)鍵．