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在△ABC中，中線長AM=2．
（1）若
OA
=-2
OM
，求證：
OA
+
OB
+
OC
=0；
（2）若P為中線AM上的一個動點，求
PA
•（
PB
+
PC
）的最小值．
考點：平面向量數量積的運算,向量的加法及其幾何意義
專題：平面向量及應用
分析：（1）由點M是線段BC的中點，利用向量的平行四邊形法則可得
OM
=
1
2
(
OB
+
OC
)，再利用
OA
=-2
OM
，即可證明．
（2）設|
AP
|=x，則|
PM
|=2-x，（0≤x≤2）．由點M是線段BC的中點，可得
PB
+
PC
=2
PM
．于是
PA
•（
PB
+
PC
）=2
PA
•
PM
=-2|
PA
|•|
PM
|=2（x-1）2-2，再利用二次函數的單調性即可得出．
解答： （1）證明：∵點M是線段BC的中點，∴
OM
=
1
2
(
OB
+
OC
)，
∵
OA
=-2
OM
，∴
OA
+
OB
+
OC
=-2
OM
+2
OM
=
0
．
（2）解：設|
AP
|=x，則|
PM
|=2-x，（0≤x≤2）．
∵點M是線段BC的中點，
∴
PB
+
PC
=2
PM
．
∴
PA
•（
PB
+
PC
）=2
PA
•
PM

=-2|
PA
|•|
PM
|
=-2x（2-x）=2（x2-2x）
=2（x-1）2-2，
當x=1時，
PA
•（
PB
+
PC
）取得最小值-2．
點評：本題考查了向量的平行四邊形法則、向量的數量積運算、二次函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．
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x
3
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．

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