Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤6；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜|1-2a|有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-

1

2

和

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和的2倍，而-1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-

1

2

和

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和的2倍正好等于6，由此求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值為4．因此，若不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，則[f（x）]_min＜|1-2a|，即4＜|1-2a|，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|=2（|x+

1

2

|+|x-

3

2

|）表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-

1

2

和

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和的2倍，
而-1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-

1

2

和

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和的2倍正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集為[-1，2]．
（Ⅱ）由于f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，故有|2a-1|＞4，故有 2a-1＞4，或 2a-1＜-4，
解得 a＜-

3

2

，或 a＞

5

2

，故a的范圍為（-∞，-

3

2

）∪（

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，著重考查了絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．