Question

已知曲線C的參數(shù)方程為

x= 2 cosA y=sinA

（A為參數(shù)）．
（1）設(shè)M（x，y）是曲線C上的任一點(diǎn)，求

2

x+2y最大值．
（2）過點(diǎn)N（2，0）的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用參數(shù)方程設(shè)出M的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)求出

2

x+2y最大值；
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率，即得到直線的方程．

解答： 解：（1）∵M(jìn)點(diǎn)在曲線上，∴M（

2

cosA，sinA）
∴

2

x+y=2cosA+2sinA=2

2

sin（A+

π

4

），
∴

2

x+2y的最大值為2

2

；
（2）設(shè)直線的方程為y=k（x-2），且與曲線交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由已知得曲線C的方程是橢圓x²+2y²=2，
把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0
有x₁+x₂=

8k2

2k2+1

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

∴y₁y₂=

2k2

1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y₁y₂+x₁x₂=0即

8k2-2

1+2k2

+

2k2

1+2k2

=0
解得：k=±

5

5

∴所求直線PQ的方程為y=±

5

5

（x-2）．

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找突破口．