一個多面體的三視圖(正視圖、側(cè)視圖、俯視圖)如圖所示,M,N分別是B1C1,A1B的中點(diǎn).
(1)求證:MN∥平面ACC1A1;
(2)求證:MN⊥平面A1BC;
(3)若這個多面體的六個頂點(diǎn)A,B,C,A1,B1,C1都在同一個球面上,求這個球的體積.
分析:(1)根據(jù)三視圖的性質(zhì),可得該幾何體是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1.連接AC1,AB1,矩形ABB1A1中對角線AB1的中點(diǎn)N就是A1B的中點(diǎn).結(jié)合M是B1C1的中點(diǎn)證出MN∥AC1,由線面平行的判定定理,證出MN∥平面ACC1A1
(2)由BC⊥平面ACC1A1,得到BC⊥AC1.正方形ACC1A1中可得A1C⊥AC1,結(jié)合線面垂直判定定理,證出AC1⊥平面A1BC,再由MN∥AC1,可得MN⊥平面A1BC;
(3)根據(jù)三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,在矩形ABB1A1中算出可得A1B=
3
a
,從而得到NA=NB=NA1=
3
2
a
,同理得NC=NB1=NC1=
3
2
a
,所以點(diǎn)N是多面體的外接球心,得到半徑R=
3
2
a
.由球的體積公式,即可算出該外接球的體積.
解答:解:由題意可知,這個幾何體是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1,
(Ⅰ)連接AC1,AB1,由直三棱柱的性質(zhì),得AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥A1B1,可得四邊形ABB1A1為矩形.
由矩形的性質(zhì),得AB1過A1B的中點(diǎn)N.
在AB1C1中,由中位線性質(zhì)得MN∥AC1,
又∵AC1?平面ACC1A1MN?平面ACC1A1,∴MN∥平面ACC1A1.…(4分)
(Ⅱ)∵BC⊥平面ACC1A1,AC1?平面ACC1A1,∴BC⊥AC1
在正方形ACC1A1中,可得A1C⊥AC1
又∵BC∩A1C=C,∴AC1⊥平面A1BC
又∵M(jìn)N∥AC1,∴MN⊥平面A1BC…(8分)
(Ⅲ)∵多面體為直三棱柱,
∴矩形ABB1A1中,A1B2=AA12+AB2=a2+(
2
a)2=3a2

可得A1B=
3
a
,
∵AN是直角三角形斜邊的中線,∴NA=NB=NA1=
3
2
a

同理可得NC=NB1=NC1=
3
2
a

∴N是這個多面體的外接球的球心,半徑R=
3
2
a
…(10分)
∴外接球的體積V=
4
3
π(
3
2
a)3=
3
2
π
a3…(14分)
點(diǎn)評:本題給出直三棱柱的三視圖,求證線面平行、線面垂直并求外接球的體積.著重考查了三角形中位線定理、線面平行垂直的判定與性質(zhì)和球的體積公式等知識,屬于中檔題.
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如圖是一個多面體的三視圖,則其全面積為( 。
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A、
3
B、
3
2
+6
C、
3
+6
D、
3
+4

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