Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），且過點P（2，）．直線l過點F且交橢圓C于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線與x軸的交點為M（），求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得，，解得a²=8，b²=4，
所以橢圓C的方程為；
（Ⅱ）當直線l斜率不存在時，不符合題意，
當斜率存在時設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點為N（x₀，y₀），
由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
因為△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-8）=32（k²+1）＞0，
所以，
所以，，
因為線段AB的垂直平分線過點M（），
所以k_MN•k=-1，即，
所以，
解得，，
所以直線l的方程為或．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，解出即可；
（Ⅱ）易知直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點為N（x₀，y₀），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及中點坐標公式可用k表示出AB中點N的坐標，由題意得k_MN•k=-1，即，把x₀，y₀用k表示出來即得關(guān)于k的方程，解出方程然后運用點斜式即可求得l的方程；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，韋達定理、判別式是解決該類題目的常用知識，正確挖掘“線段AB的垂直平分線與x軸的交點為M”所含信息是解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵．