已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長(zhǎng)為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)（異于A、B兩點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：
AM
•
BN
與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)
MN
與
AB
的夾角θ取何值時(shí)，
AM
•
BN
有最大值．
證明：（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，P為圓上一點(diǎn)，∴AP⊥BP，
∴
AP
⊥
BP
，則
AP
•
BP
=0，
∵P為MN的中點(diǎn)，且|
MN
|=20，∴
MP
=
PN
，
|MP|
= |
PN
|=10，
∴
AM
•
BN
=（
AP
+
PM
）（
BP
+
PN
）=（
AP
-
PN
）（
BP
+
PN
）
=
AP
•
BP
+
AP
•
PN
-
PN
•
BP
-
PN
•
PN

=
PN
（
AP
-
BP
）-100=
1
2
MN
•
AB
-100，
∴
AM
•
BN
僅與
MN
•
AB
的夾角有關(guān)，而與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
AM
•
BN
=
1
2
MN
•
AB
-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴當(dāng)θ=0時(shí)，
AM
•
BN
取最大值為0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長(zhǎng)為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)（異于A、B兩點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：
AM
•
BN
與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)
MN
與
AB
的夾角θ取何值時(shí)，
AM
•
BN
有最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長(zhǎng)為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)（異于A、B兩點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：數(shù)學(xué)公式•數(shù)學(xué)公式與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)公式的夾角θ取何值時(shí)，數(shù)學(xué)公式•數(shù)學(xué)公式有最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：0106 月考題 題型：解答題

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長(zhǎng)為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)（異于A、B兩點(diǎn)）。
（Ⅰ）求證：與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)與的夾角取何值時(shí)，有最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（必修4）（解析版） 題型：解答題

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長(zhǎng)為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)（異于A、B兩點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：•與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)與的夾角θ取何值時(shí)，•有最大值．

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