Question

19、已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（a+x）=f（a-x）（a≠0）
（1）求證：y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱．
（2）又若函數(shù)y=f（x）的圖象在于直線x=b（b≠a）對稱，證明函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=f（x）上任一點P（x，f（x））得到關(guān)于x=a的對稱點P’（2a-x，f（x）），根據(jù)f（a+x）=f（a-x）驗證f（2a-x）=f（x）即可．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a、x=b（b≠a）對稱，得到f（2a-x）=f（2b-x），然后設(shè)y=2b-x，那么f（y）=f[y+2（a-b）]可得答案．

解答：（1）證明：設(shè)P（x，f（x））是y=f（x）上任一點，其關(guān)于x=a的對稱點P’應(yīng)為（2a-x，f（x））．
∵f（a+x）=f（a-x），∴f（2a-x）=f[a+（a-x）]=f[a-（a-x）]=f（x），
故P’坐標為（2a-x，f（2a-x））顯然在y=f（x）圖象上．
由點P的任意性知道y=f（x）關(guān)于x=a對稱
證畢！
（2）∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱∴f（x）=f（2a-x）
∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=b對稱∴f（x）=f（2b-x）
∴f（2a-x）=f（2b-x）
設(shè)y=2b-x，那么f（y）=f[y+2（a-b）]
由于y是任意的所以f（x）是以2（a-b）為周期的周期函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)--對稱性的應(yīng)用．函數(shù)的性質(zhì)包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性，研究函數(shù)一般就從這幾個方面入手．