Question

【題目】設，命題p：函數(shù)在內單調遞增；q：函數(shù)僅在處有極值.

（1）若命題q是真命題，求a的取值范圍；

（2）若命題是真命題，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)函數(shù)僅在處有極值，則在左右兩側導數(shù)符號相反，可得恒成立，轉化為求解二次不等式的恒成立問題；（2）當p是真命題時，利用復合函數(shù)“同增異減”研究的單調性問題，求出相應a的范圍，又是真命題，則至少有一個是真命題，所以取p是真命題時a的取值集合與是真命題時a的取值集合的并集即可.

（1）由題意知，，顯然不是方程的根,

為使僅在處有極值，必須恒成立，即，

解不等式，得，這時是唯一極值，

因此滿足條件的a的取值范圍是.

（2）當p是真命題時，對恒成立,則，記，則

當時，要使得是增函數(shù)，則需有對恒成立，所以，與矛盾；

當時，要使得是增函數(shù)，則需有對恒成立，所以，所以.

記當p是真命題時a的取值集合為A，則；

記當是真命題時a的取值集合為B，則.

因為是真命題，

所以a的取值范圍是.