Question

數(shù)列{a_n}滿足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）設(shè)C_n=log₅（a_n+3），求證{C_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=

1

an-6

-

1

a 2 n +6an

，數(shù)列{b_n}的前n項的和為T_n，求證：-

5

16

≤Tn≤-

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，a_n+1+3=（a_n+3）²，利用構(gòu)造法令C_n=log₅（a_n+3），則可得

cn+1

cn

=2，從而可證數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列
（II）由（I）可先求數(shù)列c_n，代入c_n=log₅（a_n+3）可求a_n
（III）把（II）中的結(jié)果代入整理可得，bn=

1

an-6

-

1

an+1-6

，則代入T_n=b₁+b₂+…+b_n相消可證

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，
∴

log	(an+1+3) 5

=2

log

(an+3) 5

，即c_n+1=2c_n
∴{c_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，
∴c_n=2^n-1，即

log

(an+3) 5

=2^n-1，
∴a_n+3=52n-1
故a_n=52n-1-3
（Ⅲ）∵b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，∴T_n=

1

a1-6

-

1

an+1-6

=-

1

4

-

1

52n-9

．
又0＜

1

52n-9

≤

1

52-9

=

1

16

．
∴-

5

16

≤T_n＜-

1

4

點評：本題考查了利用定義證明等比數(shù)列：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列?

an

an-1

=q≠0；利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和公式，屬于對基本知識的綜合考查．試題難度不大．