Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax，x∈[-5，5]．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間[-5，5]上是減函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的最小值g（a），并求g（a）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：1）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在[-5，5]上的最值．
（2）根據(jù)y=f（x）的對稱軸為x=-a，且在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)減函數(shù)，可得-a≥5，由此求得a的范圍．
（3）由于y=f（x）=（x+a）²+2-a² 的對稱軸為x=-a，再根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得g（a）的解析式，從而求得g（a）的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）=x²+2ax=x² -2x=（x-1）²-1，
再由x∈[-5，5]，可得當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值為-1，當(dāng)x=-5時，函數(shù)取得最大值為35．
（2）∵y=f（x）=x²+2ax=（x+a）²-a² 的對稱軸為x=-a，
且在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)減函數(shù)，可得-a≥5．
解得：a≤-5，故a的范圍為：（-∞，-5]．
（3）由于y=f（x）=x²+2ax=（x+a）²-a² 的對稱軸為x=-a，
故當(dāng)-5≤-a≤5時，即-5≤a≤5時，f（x）在區(qū)間[-5，5]上最小值g（a）=-a²．
當(dāng)-a＜-5時，即a＞5時，由于f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞增，g（a）=f（-5）=25-10a，
當(dāng)-a＞5時，即a＜-5時，由于f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞減，g（a）=f（5）=25+10a．
綜上，g（a）=

25+10a，(a＜-5) -a2，(-5≤a≤5) 25-10a，(a＞5)

．
當(dāng)a＜-5時，g（a）＜-25； 當(dāng)-5≤a≤5 時，-25≤g（a）≤0；當(dāng)a＞5時，g（a）＜-25．
綜合可得，g（a）的最大值為0，此時，a=0．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．