Question

已知A、B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)N（1，0）作與x軸不垂直的直線l，交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，若在線段ON上存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)．
∵D是線段AB的中點(diǎn)，∴，．（2分）
∵|AB|=，∴+=12，
∴．
化簡(jiǎn)得點(diǎn)D的軌跡C的方程為．（5分）
（2）設(shè)l：y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，∴，∴．（7分）
∴PQ中點(diǎn)H的坐標(biāo)為．
∵以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴k_MH•k=-1，
∴，即．（9分）
∵k≠0，∴．（11分）
又點(diǎn)M（m，0）在線段ON上，∴0＜m＜1．
綜上，．（12分）
分析：（1）先設(shè)出D與A，B的坐標(biāo)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把點(diǎn)D表示出來，再代入弦長(zhǎng)公式即可得動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）把直線方程與軌跡C的方程聯(lián)立求出與P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的等量關(guān)系，進(jìn)而求出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用菱形的對(duì)角線互相垂直即可求出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)．