已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
.
b
與
a
-k
.
b
的長(zhǎng)度相等，求α-β的值（k為非零的常數(shù)）．
分析：（1）求出(
a
+ 
b
)• (
a
-
b
)，利用兩向量的數(shù)量積為0兩向量垂直得證．
（2）求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)公式求出兩個(gè)向量的模，列出方程，化簡(jiǎn)求出三角函數(shù)值，求出角．
解答：（1）證明：∵(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2-
b
2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0
∴
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直
（2）解：k
a
+
b
=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ）；
a
-k
b
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）
|k
a
+
b
|=
k2+1+2kcos(β-α)

|
a
-k
b
|=
k2+1-2kcos(β-α)

而
k2+1+2kcos(β-α)
=
k2+1+2kcos(β-α)

cos（β-α）=0，
α-β=-
π
2
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直的充要條件、向量模的坐標(biāo)公式、向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考常出現(xiàn)的題型．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•靜安區(qū)一模）（文）已知
a
=(cosα，3sinα)，
b
=(3cosβ，sinβ)，(0＜β＜α＜
π
2
)是平面上的兩個(gè)向量．
（1）試用α、β表示
a
•
b
；
（2）若
a
•
b
=
36
13
，且cosβ=
4
5
，求α的值（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(cosα，sinα)，則下列說(shuō)法不正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=
cosωx，sinωx
，
b
=
cosωx+
3
sinωx，
3
cosωx-sinωx
（ω＞0），函數(shù)f(x)=
a
•
b
的最小正周期為π
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間
π
4
，
π
2
上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2005•朝陽(yáng)區(qū)一模）已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
a
|的值；
（II）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（III）設(shè)|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．

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