選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a-1
(1)當(dāng)a=1,解不等式f(x)≥g(x);
(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)先寫出當(dāng)a=1時(shí)的不等式|2x+1|≥|x|,再利用兩邊平方整理化成一元二次不等式即可解決問題;
(2)先由f(x)≤g(x)分離出參數(shù)a得a-1≥|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,下面求得h(x)的最小值,從而所求實(shí)數(shù)a的范圍.
解答:解:(1)當(dāng)a=1時(shí),由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,
兩邊平方整理得3x
2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122800613899822/SYS201310251228006138998023_DA/0.png)
,
∴原不等式的解集為(-∞,-1]∪[-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122800613899822/SYS201310251228006138998023_DA/1.png)
,+∞)…(5分)
(Ⅱ)由f(x)≤g(x)得a-1≥|2x+1|-|x|,
令h(x)=|2x+1|-|x|,則 h(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122800613899822/SYS201310251228006138998023_DA/2.png)
…(7分)
故h(x)min=h(-
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)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122800613899822/SYS201310251228006138998023_DA/4.png)
,從而所求實(shí)數(shù)a的范圍為a-1≥-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122800613899822/SYS201310251228006138998023_DA/5.png)
,即a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122800613899822/SYS201310251228006138998023_DA/6.png)
…(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法、函數(shù)存在性問題.對(duì)于函數(shù)存在性問題,處理的方法是:利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決.