Question

20．已知橢圓的左右焦點分別為$（-\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，0）$，點$A（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$在橢圓C上，直線y=t與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P，圓心為P
（1）求橢圓C的方程
（2）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標
（3）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知列關于a，b，c的方程組，求解方程組得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由已知可得P的坐標，根據(jù)圓P與x軸相切求得x，則圓的半徑的表達式可得，進而求得t，則點P的坐標可得；
（3）由（2）知圓P的方程，把點Q代入圓的方程，求得y和t的關系，設t=cosθ，利用兩角和公式化簡整理，再由正弦函數(shù)的性質求得y的最大值．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{3^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=3，b²=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）由題意知p（0，t）（-1＜t＜1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，得x=±$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$，∴圓P的半徑為$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$，
則有t²=3（1-t²），
解得t=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴點P的坐標是（0，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（3）由（2）知，圓P的方程x²+（y-t）²=3（1-t²）．
∵點Q（x，y）在圓P上．∴y=t±$\sqrt{3（1-{t}^{2}）-{x}^{2}}$≤t+$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$，
設t=cosθ，θ∈（0，π），則t+$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴當θ=$\frac{π}{3}$，即t=$\frac{1}{2}$，且x=0時，y取最大值2．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，是中檔題．