Question

已知Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，∠C=90°，當(dāng)n∈N^*，且n≥2時(shí)，aⁿ+bⁿ與cⁿ的大小關(guān)系為（　　）

• A、aⁿ+bⁿ＞cⁿ
• B、aⁿ+bⁿ＜cⁿ
• C、aⁿ+bⁿ≥cⁿ
• D、aⁿ+bⁿ≤cⁿ

Answer 1

考點(diǎn)：不等關(guān)系與不等式

專題：綜合題

分析：依題意，a²＜c²，b²＜c²，

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較n＞2時(shí)，cⁿ與aⁿ+bⁿ的大小．

解答： 解：∵a、b、c∈R⁺，當(dāng)n=2時(shí)，a²+b²=c²，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1．
∴

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），
∵y=(

a

c

)x與y=(

b

c

)x均為減函數(shù)，
∴當(dāng)n＞2時(shí)，(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2；
∴當(dāng)n＞2時(shí)，(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
即當(dāng)n＞2時(shí)，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．
綜上可得aⁿ+bⁿ≤cⁿ．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式比較大小，突出考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想與推理分析的能力，屬于難題．