(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A1、A2分別是橢圓的左頂點和右頂點,P是橢圓上滿足|PA1|-|PA2|=2的一點,求tan∠A1PA2的值;
(3)若過點(1,0)的直線與以原點為頂點、A2為焦點的拋物線相交于點M、N,求MN中點Q的軌跡方程.
解:(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0).
由題設(shè)有
解得∴b2=3.所求橢圓方程為+=1.
(2)由題設(shè)知,點P在以A1、A2為焦點,實軸長為2的雙曲線的右支上.
由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),
設(shè)雙曲線方程為-=1(m>0,n>0).
則解得
∴雙曲線方程為x2-=1.
由
解得P點的坐標(biāo)為(,)或(,-).當(dāng)P點坐標(biāo)為(,)時,tan∠A1PA2==-4.
同理,當(dāng)P點坐標(biāo)為(,-)時,
tan∠A1PA2=-4.
故tan∠A1PA2=-4.
(3)由題設(shè)知,拋物線方程為y2=8x.
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中點Q(x,y),
當(dāng)x1≠x2時,有
①-②,得 (y1+y2)=8,
將④⑤代入上式,
有·2y=8,
即y2=4(x-1)(x≠1).
當(dāng)x1=x2時,MN的中點為(1,0),仍滿足上式.
故所求點Q的軌跡方程為y2=4(x-1).
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