A
分析:令f(x)>0可解x的范圍;對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后令f'(x)=0求出x,在根據(jù)f'(x)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可確定②正確.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷極大值即是原函數(shù)的最大值,無最小值,③不正確,④正確.從而得到答案.
解答:由f(x)>0可得(2x-x
2)e
x>0
∵e
x>0,∴2x-x
2>0,∴0<x<2,故①正確;
f′(x)=e
x(2-x
2),由f′(x)=0得x=±
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,
由f′(x)<0得x>
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或x<-
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,由f′(x)>0得-
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<x<
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,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-
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),(
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,+∞);單調(diào)增區(qū)間為(-
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,
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).
∴f(x)的極大值為f(
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),極小值為f(-
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),故②正確.
∵x<-
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時,f(x)<0恒成立.
∴f(x)無最小值,但有最大值f(
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)
∴③不正確,④正確.
故選A.
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)關(guān)系,即函數(shù)取到極值時導(dǎo)函數(shù)一定等于0,但導(dǎo)函數(shù)等于0時還要判斷原函數(shù)的單調(diào)性才能確定原函數(shù)的極值點(diǎn).