Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，圓心C在第四象限，半徑為

2

．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l與圓C相切，且在x軸上的截距是y軸上的截距的2倍？若存在，求直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，圓心C在第四象限，半徑為

2

，建立方程組，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，利用直線l與圓C相切，建立方程，即可求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由x²+y²+Dx+Ey+3=0得：(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-12

4

∴圓心C(-

D

2

，-

E

2

)，半徑R=

D2+E2-12

2

，
由題意，

D2+E2=20 D+E=-2

，解之得，D=-4，E=2
∴圓C的方程為x²+y²-4x+2y+3=0…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓心C（2，-1），設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距分別為2a，a．
當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx-y=0，則

|2k+1|

k2+1

=

2

解得k=

-2± 6

2

，此時(shí)直線l的方程為(-2±

6

)x-2y=0…（10分）
當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)直線l的方程為

x

2a

+

y

a

=1即x+2y-2a=0，
則

|2a|

5

=

2

，∴2a=±

10

，此時(shí)直線l的方程為x+2y±

10

=0…（13分）
綜上，存在四條直線滿足題意，其方程為(-2±

6

)x-2y=0或x+2y±

10

=0…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．